PROPÓSITO:
BAYES' THEOREM es un programa que incluye ejercicios de probabilidad,
probabilidad condicional y el teorema de Bayes, explica cómo
pueden usarse éstas herramientas en la búsqueda y rescate de
un sujeto perdido en un ambiente hostil.
PROPÓSITO:
COMPLEX NUMBERS es un programa que evalúa expresiones complejas,
encuentra las n raíces de un número complejo (n < 9 ), y
también grafica números complejos.
EJERCICIO:
1.
Si z=z+bi entonces el complejo conjugado de
z es =a-bi.
¿Qué puede decir en general de la relación
geométrica entre z y ? (Use la
definición dada para dar varios ejemplos. Después use el
graficador y grafíquelos. Haga una conjetura. Pruebe su
conjetura jugando con el complejo conjugado.)
2.
¿Qué puede decir en general geométricamente de ? (Grafique algunos ejemplos. Haga una
conjetura. Pruebe su conjetura.)
3.
Suponga que r es un número real. ¿Qué puede
decir en general de la relación geométrica entre
r*z y z? (Trate r=2, r=1/2,
r=-1. Grafique, conjeture, pruebe.)
4.
¿Qué puede decir en general de la relación
geométrica entre dos numeros complejos z y w y su
suma z+w? (Grafique, conjeture, pruebe.)
5.
Si z es un número complejo, entonces
se conoce como su inversión en el círculo unitario.
¿Qué puede decir en general de la relación
geométrica entre z y ? (Grafique algunos
ejemplos. Haga una conjetura. Ahora grafique el círculo
unitario - radio 1 y centro en el origen - y haga otros. ¿Alguna
nueva conjetura? Pruebe jugando con Inversión.)
6.
¿Qué puede decir en general de la relación
geométrica entre los dos números complejos z y
1/z? (Grafique, conjeture, pruebe. Resultados anteriores
pueden serle útiles.)
7.
Asigne letras a los siguientes números complejos usando la
parte del paquete llamada Define Edit:
Grafique el círculo unitario y agrándelo hasta donde sea
posible verlo. Ahora grafique los números que acaba de definir.
¿Qué sucede? Grafique para cada uno de los
números. ¿Qué pasa? ¿Porqué? Grafique
1/z para cada número. ¿Qué pasa?
¿Porqué? Limpie la pantalla. Grafique un par de estos
números. Ahora grafique su producto. Haga lo mismo con el otro
par de números. ¿Qué sucede? ¿Cuál es la
interpretación geométrica entre el producto y sus factores?
8.
¿Qué puede decir en general acerca de la relación
geométrica entre dos numéros complejos z y w y
su producto z*w? (Grafique, conjeture, pruebe.)
9.
Use la parte del paquete Solvez^
para encontrar las raíces cuadradas de uno de los números
definidos en el ejercicio 7. Grafíquelos. ¿Qué observa?
Haga lo mismo con alguno de los otros números del ejercicio 7.
¿Observa algo inusual? En general, ¿cómo se relacionan
geométricamente z y sus raíces cuadradas complejas?
(Grafique, conjeture, pruebe.)
10.
Encuentre las raíces cúbicas de 1 usando Solvez^ . Grafíque,
¿qué sucede? Encuentre las raíces cúbicas de
uno de los números definidos en el ejercicio 7.
Grafíquelos. ¿Qué sucede? En general,
¿cómo se relacionan geométricamente z y sus
raíces cúbicas? (Grafique, conjeture, pruebe.)
11.
En general, ¿cómo están relacionados
geométricamente z y sus raíces quintas? (Grafique,
conjeture, pruebe.)
12.
Muestre que las nésimas raíces de la unidad,
están en el círculo unitario igualmente espaciadas.
13.
Si c es cualquiera de las nésima raíces
de la unidad, evalúe ¿Es el
resultado que obtuvo verdadero para todas las raíces de la
unidad?
PROPÓSITO:
CONICS es un programa que grafica cónicas y curvas
cuadráticas en la forma estándar. Las constantes
involucradas en las ecuaciones (usualmente
a,b,c,d,e,f,h,k,
y r) se pueden cambiar conforme el usuario desea.
EJERCICIO:
1.
Realice los ejercicios de la demostración. Deténgase
en alguno de ellos y mida la cantidad que se conserva, ejemplo: en el
caso de la elipse la suma de las distancias del foco a un punto en la
curva.
2.
Muestre como se transforma en
.
PROPÓSITO:
DIVISION ALGORITHM es un programa que realiza diferentes
manipulaciones con polinomios, por ejemplo, el algoritmo de Euclides,
el algoritmo de Sturm, y el algoritmo para completar la identidad de
Bezout.
PROPÓSITO:
FEUERBACH'S THEOREM es un programa que permite experimentar con
diferentes triángulos y ver cuales cuales son los círculos
interiores que resultan, así como círculos externos,
circuncírculos y círculos de nueve puntos. Está
diseñado para dar una representación pictórica del
teorema de Feuerbach.
PROPÓSITO:
FINDPOLY es un programa que pide al usuario determinar la
ecuación de un polinomio, dada como información su
gráfica y la de su primera y segunda derivada.
EJERCICIO:
1.
Use P009 y encuentre el polinomio.
2.
Selecciones dos números, uno entre 2 y 8 y el otro entre 10
y 18. Use el programa y encuentre el polinomio correspondiente a sus
dos números.
PROPÓSITO:
FORTUNE es un programa que pide al usuario experimentar con diferentes
parámetros y curvas. Permite dar expresiones de hasta dos
funciones f(x) y g(x), con parámetros
libres a,b,c, y las grafica. Los parámetros
a,b,c pueden cambiarse cuantas veces se
requiera.
EJERCICIO:
Cómo afecta el cambio de Parámetros
1.
Grafique ax para varios valores de a. ¿
Cuál es el efecto de a cuando es positiva y cuando es
negativa, creciente o decreciente ?
2.
Grafique para varios valores
de a. ¿ Cuál es el efecto de a cuando es
positiva y cuando es negativa, creciente o decreciente ? Repita el
ejercicio para , ¿ cuál
es el efecto de b cuando es positiva y cuando es negativa,
creciente o decreciente? Repita el ejercicio para .
3.
Grafique (x-a)(x-b) para varios
valores de a y b. ¿ Cuál es el efecto que
tienen a y b cuando son positivas, negativas, crecientes
o decrecientes?
4.
Grafique para varios valores
de a. ¿ Cuál es el efecto que tiene a cuando
es positiva, negativa, creciente o decreciente? Repita el ejercicio
para . ¿ Cuál
es el efecto de b positiva, negativa, creciente o decreciente?
Repita el ejercicio para y para .
5.
Grafique , para varios valores
de a. Explique las gráficas. Repita para .
6.
Grafique las funciones , , , para valores de x entre 0 y 1. ¿Qué pasará
si se sigue el mismo patrón?
7.
Grafique para varios valores
de a. Grafique para varios valores
de a. ¿ Cuál es el efecto de sumar una constante a
la función?
8.
Grafique para varios valores
de a. Grafique para varios valores
de a. ¿ Cuál es el efecto que tiene el reemplazo
de x por x+a?
9.
Grafique para varios valores
de a. Grafique para varios valores
de a. ¿ Cuál es el efecto de multiplicar una
función por una constante?
10.
Grafique para varios valores
de a. Grafique para varios valores
de a. ¿ Cuál es el efecto de reemplazar x
por ax?
11.
Grafique para varios valores
positivos de a. ¿ En qué valores de a la
función cambia de ser creciente a ser decreciente?
12.
Grafique para varios valores
de a. Explique que sucede cuando a es muy grande.
Desigualdades
13.
Grafique las funciones 2x y
. ¿Es alguna de ellas siempre mayor que la otra? Haga una
conjetura que involucre a las dos funciones y una desigualdad. Pruebe
su conjetura, usando como hecho que nunca
es negativo.
14.
Grafique las funciones y x para
x>1. ¿ Es alguna de ellas siempre mayor que la otra?
Haga una conjetura que involucre ambas funciones y una desigualdad.
Pruebe su conjetura.
15.
Grafique las funciones y
x/(1+x) para x>1. ¿ Es alguna de ellas
siempre mayor que la otra? Haga una conjetura sobre ellas y decida
sobre una desigualdad. Pruebe su conjetura.
16.
Grafique las funciones y 1+x para
x>0. ¿ Es alguna de ellas siempre mayor que la otra?
Haga una conjetura sobre ellas y decida sobre una desigualdad. Pruebe
su conjetura.
17.
Grafique las funciones y x para
x>0. ¿ Es alguna de ellas mayor que la otra? Haga
una conjetura y decida sobre alguna desigualdad. Pruebe su conjetura.
18.
Grafique las funciones y para x>0. ¿ Es alguna de ellas siempre mayor que
la otra? Haga una conjetura y decida sobre alguna desigualdad. Pruebe
su conjetura.
19.
Grafique las funciones y para x>0. ¿ Es alguna de ellas siempre mayor que
la otra? Haga una conjetura y decida sobre alguna desigualdad. Pruebe
su conjetura.
Igualdades
20.
Grafique y para diferentes valores de b. ¿ Qué valor de
b hace que las gráficas coincidan? ¿Qué
significa?
21.
Grafique la función
para varios valores de a. ¿Qué nota sobre
f(x)? Haga una tabla comparando a con
f(1). Escriba f(x) en terminos de una
función simple. En FORTUNE, la función f(x)
debe de escribirse
22.
Grafique la función
en el
intervalo [-1,1] para varios valores positivos de a. Haga una
tabla comparando a con el número de raíces de
f(x). ¿ Qué funciones simples, dependiendo
de un entero positivo, tienen una tabla similar? Con a=2,3 y 4,
reescriba f(x) en términos de funciones simples.
En FORTUNE, la función f(x) debe escribirse como
Derivadas
23.
Grafique , para varios valores
de a entre -1 y 1, excluyendo el cero. Cuando a
está cerca del cero, ¿que función aparece? Basado en
esta construcción grafique la derivada de .
24.
Grafique , para varios valores
de a entre -1 y 1, excluyendo el cero. Cuando a
está cerca del cero, ¿ que función aparece?
25.
Grafique en el intervalo
[0,2]. Repetidamente agrande la región alrededor del punto (1,1)
hasta que la curva se vea como una línea. Estime la pendiente de
esta curva. ¿ Cómo se relaciona con la derivada de cuando x=1? Use este método para
aproximar numericamente el valor de la derivada de cuando x=2.
26.
Grafique su función favorita f(x) y
donde f'(a)=df/dx cuando
x=a. Esto graficará f(x) y su
tangente en x=a.
27.
Grafique su función favorita f(x) y
Esto graficará la función f(x) y su
secante en x=a y x=b. Ahora deje que
b aproxime a a.
28.
Construya las funciones
Grafiquelas para varios
valores de a. Haga una conjetura acerca de la relación
que existe entre ellas. Pruebe su conjetura. Construya las
funciones
Grafiquelas para varios valores de a y b. Haga una
conjetura acerca de la relación que existe entre ellas. Pruebe
su conjetura.
Construya las funciones
Grafiquelas para varios
valores de a, b y c. Haga una conjetura acerca
de la relación que existe entre ellas. Pruebe su conjetura.
29.
La función cúbica general es
dónde a,b,c y d son constantes y
. Aquí d representa una
translación vertical y puede establecerse como cualquier
constante (digamos cero) si se desea graficar la función usando
FORTUNE.
(a)
¿ Es f(x) continua para toda x?
¿ Cuáles son
(b)
Calcule f'(x). ¿ Para que valores de
x es f'(x)=0, f'(x)>0 y
f'(x)<0? ¿ Existen restricciones para
a,b,c y d en orden de dar su respuesta?
(c)
Se dice que la ecuación f(x)=0 tiene solo una
raíz si . Si esto es
cierto, pruébelo, en caso contrario explique bajo que
circunstancias esto es falso.
Inversas
30.
Grafique y su imagen espejo
sobre la línea y=x. ¿Qué dice esto
acerca de la inversa de ? Repita el
ejercicio para y .
Graficas y Computadoras
31.
Grafique la función . Simplemente con
analizar la definición de f(x) explique si la
gráfica de f(x) es correcta o no. Use cálculo
para confirmar sus observaciones. Repita este ejercicio usando las
funciones y . Para graficar estas funciones de manera correcta use la
función potencia, ejemplo: x* power(5x-40,3,5).
32.
Con el rango y dominio [-10,10] y un incremento de 5 (estos son
los valores estandar de FORTUNE), grafique la función para a=23,27,30 a 36,42,45,50,51,56,66 a
70. ¿Nota algo? Ahora tome a=11 y compare esta grafica
con incrementos de 5 y luego con incrementos de 1. (Note que 's' da
incrementos de 1 y 'S' los regresa al valor original).
33.
Construya la función
con a=20 y b=19. Grafique f(x) para -5
< x < 5, -1.2<y<1.2 (con incrementos de 1).
Observe a f(x). ¿Puebe ver otra curva? ¿
Qué función g(x) le recuerda? Repita lo mismo
para diferentes valores de a y b
(a>b). ¿Cuál parece ser la relación
entre f(x) y g(x)? Muestre que los puntos
x para los cuales f(x)=g(x) y
f'(x)=g'(x), tienen la propiedad de que
f''(x)=g''(x). ¿Cómo
explicaría esto de que su ojo describe a g(x)
cuando observa a f(x)?
Funciones que Aproximan
34.
Sea , y
p(x)=a. Grafique f(x) y
p(x) para varios valores de a. ¿Cómo
seleccionaría a de tal forma que p(x) se
aproxime a f(x) cerca de x=0? Para cualquier
f(x), ¿cómo seleccionaría a?
¿Cuál sería la interpretación geométrica de
dicha selección?
Sea y
p(x)=a+bx. Grafique f(x) y
p(x) para varios valores de a y
b. ¿Cómo seleccionaría las constantes a
y b para que p(x) aproxime a f(x)
cerca de x=0? Para cualquier f(x),
¿cómo seleccionaría a y b?
¿Cuál sería la interpretación geométrica de
dicha selección? Repita para .
¿Cómo continuaría dicho proceso?
Funciones Períodicas
35.
Grafique la función y note su
perioricidad. Ahora grafique y . ¿Nota algo? Repita para y
. Repita para y . Repita para y . Si se le da una función f(x), ¿qué
esperaría de la periodicidad de ?
Grafique la función cos(x) y note su perioricidad.
Ahora grafique y . ¿Nota algo? Repita para y
. Repita para y . Repita para y . Si se le da una función f(x), ¿qué
esperaría de la periodicidad de ?
Si se le diera una función f(x) y una función
g(x) con período p (tal que
g(x+p)=g(x)), ¿qué
esperaría de la periodicidad de f(g(x))?
Trate de probar su conjetura.
Si se le diera una función f(x) y una función
g(x) con período p (tal que
g(x+p)=g(x)), ¿qué
esperaría de la periodicidad de g(f(x))?
36.
Grafique . Ahora grafique
. Explique cuidadosamente porque no son iguales.
Otros Usos
37.
Se quiere rentar un coche por un día. La casa de autos I
cobra 25 centavos por milla. La casa II cobra 5 dólares por
día más 10 centavos por milla. ¿ A que casa
deberá rentarsele el auto?
38.
Hay 25 pies de material para bardear un área rectangular en
tres de sus lados, ¿Cuál es el área máxima que
puede bardearse?
PROPÓSITO:
FOURIER grafica los primeros 20 polinomios de Fourier de la
función y=f(x), dado f(x) y el
periodo 2L. Pueden darse los coeficientes de Fourier (forma
precisa) o dejar que la computadora los calcule con integración
numérica (forma aproximada).
PROPÓSITO:
HISTROGRAM calcula la media, la mediana y la desviación estandar
de un conjunto de datos. Genera un histograma, una gráfica de
barra, de caja, de bigote, de tallo y de hoja.
PROPÓSITO:
IDENTIFY pide al usuario identifique una función dada su
gráfica o una tabla de valores numéricos.
PROPÓSITO:
IMPLICIT trata de graficar funciones implícitas de la forma
f(x,y)=c. Así que puede usarse para
graficar funciones implícitas, definidas como
f(x,y)=0, o líneas de contorno (superficies
de nivel) de la función z=f(x,y).
PROPÓSITO:
INTEGRAL es un programa que permite calcular numéricamente
integrales definidas usando diferentes técnicas, y compara la
eficiencia de estas. El integrando puede contener parámetros
libres a,b y c.
EJERCICIO:
1.
Evalúe
Hágalo gráfica
y numéricamente.
2.
Considere la región A que esta acotada superiormente por la
gráfica de , inferiormente por
el eje de las x y por la izquierda por el eje y.
Grafique la grafica de f(x) y sombree la región A.
Encuentre (aproximadamente) y etiquete los tres puntos esquina de la
región A. Con solo mirar el dibujo decida si el área de A
es mayor o menor que 0.8. ¿Es mayor o menor que 0.3? De una
justificación gráfica a sus respuestas. Exprese el
área de la región A como una integral. Aproxime el valor
de la integral con una presición tal que pueda decidir si el
área de A es mayor o menor que 0.6.
3.
Evalúe
donde a y b
son enteros positivos. Intente diferentes valores de a y
b, incluyendo a=b. Realice una conjetura y
pruébela. Repita para
4.
Evalúe
para a muy grande.
Repita para
¿Qué cree le sucede a integrales del tipo
cuando a tiende a ?
5.
La ecuación de una elipse es
donde
a y b son constantes positivas y a>b.
El foco de la elipse está localizado en (-c,0) y
(c,0), donde . La eccentricidad,
e, de la elipse esta dada por e=c/a,
mientras que el perímetro de la elipse es
En
general, esta integral no puede integrarse en términos de
integrales conocidas.
La trayectoria de la tierra describe una elipse, con el sol en uno de
sus focos. Toma un año a la tierra en dar la vuelta al sol. Lo
más cerca que la tierra pasa del sol son 91.5 millones de millas
y lo más lejos son 94.5 millones de millas. En términos del
sol y la tierra, ¿cuáles son los valores para
a,b,c y e? ¿Qué tan lejos
viaja la tierra en una órbita del sol? ¿Cuál es la
velocidad promedio de la tierra alrededor del sol, en millas por
segundo? Si la trayectoria de la tierra fuera un círculo, pero
aun así viajara la misma distancia, ¿cuál sería
el radio?
6.
La función S(x) esta definida como
Es conocida como la integral de Fresnel (Seno), y es muy
importante en optica. Desafortunadamente no puede integrarse para
x arbitraria en términos de funciones conocidas.
¿En dónde alcanza S(x) máximos y
mínimos relativos? Use el programa INTEGRAL para obtener valores
numéricos aproximados de S(x) en sus primeros dos
máximo y mínimo a la derecha de x=0. Evaluando
S(0), S'(x) y S''(x), grafique
S(x). Use el programa SLOPES para obtener las
pendientes correspondientes a la ecuación
sujeto a la condición de que y(0)=0. Compare esta
gráfica con la suya.
7.
Seleccione su función favorita f(x) y
observela en un dibujo con cuadricula. Grafique a mano la integral
definida de f(x) desde su límite inferior original
hasta un límite superior variable. Presione 'I' para ver la
integral de f(x). Compare con su grafica.
8.
Seleccione su función favorita f(x), observela
en un dibujo cuadriculado, y luego presione 'I' para ver la integral
de f(x). Estime la derivada de la integral en varios
puntos x, y compare el valor numérico obtenido por ud. con
el valor numérico obtenido en el mismo punto x.
¿Qué le muestra esto?
9.
Si está interesado en una integral definida cuyo límite
inferior es la variable a y el límite superior es la
variable b, esta puede convertirse en una integral definida de
0 a 1 usando la transformación
y=(b-a)x+a. El nuevo integrando es
(b-a)f((b-a)x+a).
En otras palabras
10.
Es posible estudiar el error que resulta de usar cualquiera de
los procedimientos numéricos si se sabe el valor exacto de la
integral dada. Por ejemplo, para encontrar el error en la integral
numérica de
cuyo valor exacto es
, integre
numericamente. Esto
dará el error.
PROPÓSITO:
INTERPOL permite que el usuario de un conjunto de datos y luego
seleccionar cómo se desea que se interpole.
PROPÓSITO:
ITERATE permite al usuario dar una función f(x) y
generará varios resultados relacionados con las iteraciones de f(x). f(x) puede
tener parámetros libres a y b.
PROPÓSITO:
LIMITS trata de encontrar el límite de f(x) cuando
x tiende a , dónde puede ser finito o infinito. La función
f(x) puede tener los parámetros libres
a,b y c.
EJERCICIO:
1.
Estime conforme x
se aproxima a cero.
2.
Encuentre la derivada de cuando x=2.
3.
¿Qué le sucede a
cuando x se aproxima a cero?
4.
¿Qué le sucede a
cuando x se aproxima a cero? Si sigue uno acercando al cero, la
computadora dara de repente un valor completamente diferente.
Explique que ha sucedido.
5.
¿Qué dice la computadora acerca del límite de
conforme x tiende a cero? ¿Es
correcto?
PROPÓSITO:
LINALG es un paquete de álgebra lineal.
EJERCICIOS:
1.
Tome varios pares de matrices A y B, ;
calcule y . Basado en lo que observe, pruebe o refute la siguiente conjetura:
.
2.
Tome varios pares de matrices A y B, ;
calcule y . Basado en lo que observe, pruebe o refute la siguiente conjetura:
Si decide que es falso, trate de corregir la
expresión y demuestre su nueva conjetura.
3.
Sea A una matriz y sea B la
transpuesta de A. Observe los productos AB y BA.
¿Tienen alguna forma en particular? Realice una conjetura y
trate de probarla. ¿Qué necesita saber de la transpuesta
de un producto y del producto de transpuestas?
4.
Tome matrices simétricas de varias dimensiones y
elévelas a diferentes potencias (incluso la potencia -1, esto es
la inversa). ¿Tienen las potencias alguna forma en especial?
Realice una conjetura acerca de las potencias de matrices
simétricas. Trate de probar su conjetura.
5.
Tome matrices antisimétricas de varias dimensiones y
elévelas a diferentes potencias. Observe la forma de las
potencias. Realice una conjetura sobre la potencia de matrices
antisimétricas. Quizá desee distinguir entre dimensiones
pares e impares. Trate de probar su conjetura.
6.
Calcule los determinantes de diferentes matrices
antisimétricas con varias dimensiones. Basado en lo que observa,
realice una conjetura acerca de los valores numéricos de los
determinantes de matrices antisimétricas. Quizá desee
distinguir entre dimensiones pares e impares. Trate de probar su
conjetura o casos especiales de ella. Si empieza a sospechar que algo
esta mal, trate de buscar contraejemplos.
7.
Tome varias matrices cuadradas A; calcule la transpuesta
de A y llámela B. Calcule A+B y
A-B. ¿Qué clase de matriz es
A+B? ¿Qué clase de matriz es
A-B? ¿Puede probar sus conjeturas? Verifique la
identitad
¿Qué puede
decir acerca de expresar matrices cuadradas en términos de
ciertas matrices especiales? ¿Puede probar (o ya ha probado)
su respuesta?
8.
Calcule los polinomios característicos de diferentes
matrices antisimétricas de varias dimensiones. Basado en lo que
observa, realice una conjetura acerca de los coeficientes. Quizá
desee distinguir entre dimensiones pares e impares. Trate de probar
su conjetura o casos especiales de ella.
9.
Tome varias matrices estocásticas con elementos aleatorios,
elévelas a potencias cada vez más altas y observe los
resultados. Realice un conjetura acerca de la forma límite de
éstas potencias. Antes de realizar una conjetura definitiva tome
una matriz estocástica (no aleatoria) con el primer renglón
[0,1] y el segundo renglón [1,0]. El resultado alcanzado es no
trivial. Discuta su conjetura con su instructor y/o consulte
algún libro que hable sobre CADENAS DE MARKOV.
10.
Sea A una matriz y B la
transpuesta de A. Observe los productos AB y BA.
¿Tienen alguna forma en particular? (En particular AB y
BA son ambas cuadradas. Para cada una de ellas compare las
entradas arriba y abajo de la diagonal.) Realice una conjetura y
trate de probarla. ¿Qué necesita saber acerca de producto
de transpuestas contrario a la transpuesta de un producto?
11.
Cree dos matrices A y B cuadradas aleatorias de la
misma dimensión (ejemplo: ). Forme los
procuctos C=AB y D=BA.Calcule los
polinomios característicos de C y D y
compárelos. Repita las instrucciones para diferentes matrices
A y B con varias dimensiones. Basado en lo que observa,
realice una conjetura sobre los polinomios característicos de
AB y BA. Trate de probar su conjetura o casos
especiales de ella.
12.
Cree 10 matrices aleatorias y llámelas
y . Forme los
productos y y luego forme las matrices , . Luego forme el cuadrado de cada y
llámelo . ¿Nota
algo especial acerca de las entradas y/o la forma de y ? Realice una
conjetura y trate de probarla. ¿Cree que algo similar sea
cierto para matrices más grandes?
13.
Considere la siguiente secuencia de matrices:
Trate de calcular sus inversas y realice una conjetura. Note que sus
renglones están en progresión aritmética.
¿Puede hacer una conjetura más general? ¿Puede
probarla?
14.
Considere la secuencia de determinantes de matrices
antisimétricas :
en las cuales cada entrada de las primeras
n subdiagonales debajo de la diagonal principal es 1 y cada una
de las restantes entradas debajo de la diagonal principal es -1.
Realice una conjetura acerca de los valores numéricos de este
tipo de determinantes y trate de probarla.
15.
Para varios valores de la constante a considere la
secuencia de determinantes:
Realice una conjetura
sobre el valor numérico de este tipo de determinantes. Trate de
probar su conjetura.
16.
Considere la secuencia de determinantes:
con 2 en la diagonal principal, -1 en la sub y superdiagonal y cero en
lo demás. Realice una conjetura sobre los valores numéricos
de este tipo de determinantes. Trate de probar su conjetura.
¿Puede generalizar esto?
17.
Cree las primeras matrices donde
Calcule los determinantes de las primeras
matrices y trate de encontrar un patrón. (Piense acerca de las
sumas de potencias de 4, ejemplo: 1+4,1+4+16, etc.) Realice una
conjetura, ¿puede probarla?
PROPÓSITO:
LINEINT es un programa que permite crear trayectorias en el plano
xy y evaluar numéricamente integrales de línea a lo
largo de dichas trayectorias.
EJERCICIO:
1.
Encuentre
alrededor del
triángulo con vértices (0,0),(2,2),(2,0).
2.
Encuentre
alrededor de cualquier
curva cerrada. Ahora encuentre la integral de xdx+ydy a
lo largo de tres curvas, cada una de las cuales empieza en el origen y
termina en el punto (2,0). Repita para -xdx+ydy y para
.
3.
Encuentre
alrededor de cualquier
curva cerrada. Ahora encuentre la integral delínea de
-ydx+xdy a lo largo de tres curvas, cada una de las
cuales empieza en el origen y termina en el punto (2,0). Repita para
dx+xdy.
PROPÓSITO:
LINSYS es un programa que resuelve sistemas de ecuaciones lineales con
dos incógnitas. Su propósito principal es mostrar la
interpretación gráfica de la reducción por
renglón.
EJERCICIO:
1.
Resuelva
PROPÓSITO:
OLDES grafica soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales
ordinarias lineales de 1ero y 2ndo orden con parámetros libres
a,b y c. Estos parámetros pueden ser
cambiados y la solución graficada de nuevo. El usuario puede dar
su propia función, así como una serie de potencias y
serán también graficadas.
EJERCICIO:
1.
Demuestre como las soluciones de
para
b constante, cambian de sinusoidales a lineales y a
exponenciales, conforme b cambia de -1 a 1. Use y(0)=0
y y'(0)=1 como condiciones iniciales.
2.
Use el ejemplo anterior para demostrar el método de
Frobenious. En este caso
Demuestre como tomando más elementos de la serie la solución
de la ecuación diferencial puede verse con más claridad.
3.
Muestre cómo el efecto del término de fuerza afecta a
la ecuación homogénea (resonancia, sobreamortiguamiento,
etc.).
4.
Grafique funciones que esten definidas en términos de
integrales definidas, ej: erf(x) o la integral de
Fresnel, trátelas como ecuaciones del tipo
y'=f(x) sujeta a las condiciones iniciales
y(0)=0.
5.
Experimente con varias p(x) y q(x),
en el caso homogéneo de segundo orden, para ver que condiciones
en estos coeficientes garantizan que la solución oscile (esto es
que tiene un número infinito de ceros).
6.
Experimente con varias p(x) y q(x),
en el caso homogéneo de segundo orden, para ver que condiciones
en estos coeficientes garantizan que si una solución tiene dos
ceros sucesivos , , entonces cualquier otra solución lineal independiente tiene
un cero entre y .
7.
Muestre como tomando más elementos de la serie de la
solución de una ecuación diferencial, ésta puede verse
más claramente.
PROPÓSITO:
POLAR grafica ecuaciones polares de la forma
r=r(t), donde t es el ángulo,
también ecuaciones paramétricas de dos dimensiones de la
forma x=x(t),y=y(t). La
funciones r,x y y, pueden tener parámetros
libres a,b y c. Hasta dos ecuaciones pueden
graficarse, y luego puede uno cambiar los parámetros y graficar
de nuevo.
EJERCICIO:
1.
Vea ROSES, 2ROSES, BUTTERFLY, CYCLOID y DELTOID.
2.
Cuando un cañón es disparado, el alcance está
determinado por la velocidad inicial b del proyectil (en
metros/segundo) y el ángulo de inclinación a (en
radianes). La ley de movimiento para el proyectil es
donde g=9.81. Si a=0.6,
¿qué tan lejos viaja el proyectil? ¿Qué
ángulo de inclinación da el mayor alcance?
3.
Empiece con su curva paramétrica favorita, digamos las elipse
, donde t varía de 0 a . Ahora defina la curva paramétrica
Grafique para varios valores de a. ¿Qué sucede?
Esto es usualmente conocido como rotación de ejes.
PROPÓSITO:
ROOTFIND es un programa que permite al usuario calcular las
raíces reales de una función f(x) usando
diferentes técnicas numéricas, también compara la
eficiencia de dichas técnicas. f(x) puede tener
los parámetros a,b y c.
EJERCICIO:
1.
Encuentre una raíz positiva de
2.
Encuentre una raíz positiva de
Alguien
afirma que existe otra raíz real, ¿es cierto?
3.
Encuentre la primera raíz positiva de .
4.
Encuentre todas las raíces de
5.
Encuentre todas las raíces de
6.
El propósito de este ejercicio es encontrar todas las
raíces de
de manera exacta. Use
su computadora para obtener todas las raíces de
f(x) aproximando hasta dos decimales. ¿Cómo
sabe que ya encontró todas las raíces? Una de las
aproximaciones que encontró puede sugerirle una raíz exacta.
¿Cuál es? y ¿cómo confirma que la raíz es
exacta? Basado en esta información encuentre las expresiones
exactas para todas las raíces.
7.
Encuentre todas las raíces de de
forma exacta.
8.
Encuentre la distancia más corta del origen a la curva .
9.
Una caja sin tapa se construye con una lámina rectangular
que mide 10 por 16 cm, cortando cuadrados iguales de cada esquina y
doblando los lados hacia arriba. ¿De qué tamaño
deberán cortarse los cuadros si se quiere que el volúmen de
la caja sea de 100 ?
10.
Considere la región A que esta acota superiormente
por la gráfica , inferiormente por
el eje x y a la izquierda por el eje y. Grafique la
gráfica de f(x) y sombree la región
A. Encuentre (aproximadamente si es necesario) y etiquete las
tres esquinas de A. Con sólo mirar su gráfica decida
si el área de A es mayor o menor que 0.8. ¿Es mayor
o menor que 0.3? De una justificación gráfica a todas sus
respuestas. Exprese el área de la región A como una
integral. Aproxime el valor de la integral con tal precisión que
le ayude a decidir si el área es mayor o menor que 0.6.
11.
Un asta bandera de 10 pies de alto se encuentra a 1 pie de
distancia de un palo que mide 1 pie. Si el asta se rompe (pero la
parte superior no se separa de la base) y toca la punta del palo de 1
pie y solo toca el piso, encuentre la altura de ruptura.
12.
El problema anterior tiene dos soluciones. ¿Qué tan
lejos tendría que estar el palo de un pie del asta bandera para
que solo hubiese una solución?
13.
¿En dónde la función tiene
un mínimo para x>0?
14.
Use el método de Newton para tratar de encontrar la
raíz de en x=0,
empezando con diferente valores inciales, excepto en x=0.
¿Nota algo? Trate de encontrar todas las funciones que tienen
la propiedad de que el método de Newton falla de esta manera.
PROPÓSITO:
SEQUENCE es un programa que permite crear sucesiones
a(n), y luego muestra los valores de términos
sucesivos tanto numérica como graficamente. También calcula
las sumas parciales de la sucesión. Incluye una demostración
del teorema de reordenamiento de Riemann. La sucesión
a(n) puede tener los parámetros a,b y
c.
EJERCICIO:
1.
Observando la serie p para p=1 y p=2, tanto
numérica como gráficamente, ¿puede decir cuál
converge y cuál diverge?
2.
Use la sucesión DIVERGE. Obtenga la suma parcial de sus
primeros 350 términos. ¿A qué cree ud. que converga?
Ahora obtenga la suma parcial de sus primeros 360 términos.
Explique que sucede.
PROPÓSITO:
SIMPLEX es un programa que ejecuta el Método Simplex de tres
formas: dejando que la computadora de la respuesta, dejando que la
computadora muestre los pivotes y dejando que el usuario lo desarrolle
paso a paso.
PROPÓSITO:
SLOPES grafica las pendientes (campo direccional) y las curvas
integrales de
donde
Las funciones F(x,y) y
G(x,y) pueden tener los parámetros
a,b y c.
EJERCICIO:
1.
Considere la función implícita
Muestre que para esta función,
Use SLOPES
para mostrar que las curvas caracterizadas por sus derivadas son
círculos.
2.
Considere la función implícita
Muestre que para esta función,
Use SLOPES
para mostrar que las curvas caracterizadas por sus derivadas son
hipérbolas.
3.
Considere la función implícita
Muestre que, para esta función,
Use SLOPES
para mostrar las curvas caracterizadas por sus derviadas. Estas se
llaman lemniscatas. Note que, lejos del origen, las curvas se ven
como círculos, mientras que, cerca del origen, se ven como
hipérbolas. Explique porqué, usando como referencia 1 y 2.
4.
Use las técnicas anteriores para graficar la función
implícita
Note que el punto (0,1)
esta en la curva. Confirme su respuesta usando el programa IMPLICIT.
5.
Use las técnicas anteriores para graficar la función
implícita
Confirme su respuesta
usando el programa IMPLICIT.
6.
Grafique la función implícita
7.
La función S(x) esta definida como
Se conoce como la integral de Fresnel (Seno),
y es muy importante en óptica. Desafortunadamente no puede
integrarse en términos de funciones conocidas para cualquier
x. ¿En dónde S(x) tiene un
máximo y mínimo relativos? Use el programa INTEGRAL para
obtener los valores numéricos aproximados para S(x)
en sus primeros dos máximos y mínimos a la derecha de
x=0. Evaluando S(0), S'(x) y
S''(x), grafique S(x). Use el programa
SLOPES para obtener las pendientes correspondientes a la ecuación
sujeta a la condición y(0)=0.
Compare con su gráfica.
8.
Explore las trayectorias ortogonales:
(i)
En una pantalla cuadriculada, grafique el campo direccional para
con a=1 y b=0 y grafique dos
curvas solución.
(ii)
Sin limpiar la pantalla cambie los parámetros a=0 y
b=-1 y grafique dos curvas solución en el mismo cuadrante
como en (i). Explique que le dicen sus observaciones acerca de las
cuatro curvas solución.
(iii)
Ahora, sin limpiar la pantalla, dibuje el campo direccional para
este caso (a=0,b=-1), y explique que observa.
9.
Repite la sugerencia 8 para
usando su
función favorita f(x,y). Note que
a=1,b=0 y a=0,b=-1 dan trayectorias
ortogonales. (Para evitar problemas con tangentes verticales, obtenga
un denominador común para la expresión antes de dar el numerador y denominador.)
10.
Trayectorias oblicuas (o isogonales) ocurren cuando una familia
de curvas intersecta a otra con un ángulo a ( ). Si una familia satisface
entonces la otra satisface
Use SLOPES para
encontrar las características de la familia de curvas que
intersecta la familia de hipérbolas dada por . (Examine los campos de pendientes de
Note que
a=0 da el campo direccional para las hipérbolas
originales.)
11.
(a)
Examine varias tazas de crecimiento observando los campos
direccionales de
con una constante igual
a 1 y las otras dos igual a 0, (esto es observe el crecimiento de
y que es i) constante, ii) proporcional a la variable
independiente, y iii) proporcional a la variable dependiente.)
(b)
Ahora examine el efecto de tener dos de los parámetros cero
y el otro variando (considere valores positivos y negativos).
12.
Examine el efecto que tienen los parámetros en la
solución de la ecuación logística
con valor inicial y(0). En aplicaciones
a,b,y y x son todos positivos. Explique
que sucede cuando cambian a y b. Mencione cosas como
creciente, decreciente, cóncavo hacia arriba, cóncavo hacia
abajo, acotado, etc. Discuta la diferencia entre tener y(0)
mayor o menor que b.
13.
Examine el efecto que tienen los parámetros en la
solución de la ecuación de Gompertz
donde a,b,y y x son todos positivos.
Repita la discusión de la sugerencia 12. En particular,
¿cuál es el efecto de cambiar y(0)?
14.
(a)
La velocidad v de un objeto que cae de masa m esta
descrita por
donde f(v)
es una función que denota la resistencia del aire. El modelo
más común de resitencia de aire esta dado por donde h y a son constantes positivas. Examine la
diferencia en los campos direccionales entre a=1 y
a=3/2. ¿En que caso el objeto caerá más
rápido? ¿Es eso obvio del campo direccional? (Haga
y=v,x=t,b=g y
h/m=c para dar la ecuación diferencial.)
¿Cree que a=0 es un modelo realista? Explique.
¿Cree que habrá una velocidad límite en estas tres
situaciones (a=0,1,3/2)? Si es así, explique por que y si
no explique por que no.
(b)
Un modelo de resistencia a un objeto que se sumerge en agua tiene
a f(v(x)) de la forma h(3-2/(x+1)),
donde x denota tiempo. ¿Tendrá un objeto sujeto a
dicha resitencia una velocidad terminal? Si es así,
¿cuál sería?, si no, ¿por que no? Si las
constantes se eligen de tal forma que la resistencia inicial es la
misma en los cuatro modelos, ¿para qué caso el objeto
tendrá la velocidad terminal más grande? ¿Y la
velocidad terminal más chica?
15.
Un circuito eléctrico compuesto por un inductor y un
resistor está conectado a una corriente alternante, este sistema
esta descrito por
donde L es la
inductancia y R es la resistencia, A la amplitud del
voltaje que entra y el período.
Del campo direccional, ¿puede ver el efecto que tendría
incrementar la razón R/L? Haga
c=R/L y a=A/L cuando de la
ecuación diferencial. ¿Existe una soluci'on estable para
este problema? (Esto es, ¿que sucede para valores grandes de
x?) ¿Afecta el valor inicial y(0) a este
problema?
16.
Un circuito eléctrico con un capacitor y un resistor
está descrito por la ecuación diferencial
donde y es la carga, R la resistencia, C la
capacitancia, y A la amplitud del voltaje que entra. Del campo
direccional, ¿puede observar el efecto que tiene incrementar el
cociente RC? Haga c=RC y
a=A/R para dar la ecuación diferencial.
¿Existe una solución estable para este problema? (Esto
es, ¿que sucede para valores grandes de x?)
¿Afecta el valor inicial y(0) al problema?
17.
La ley de enfriamento (calentamiento) de Newton está dada
por
Use SLOPES para describir cualitativamente el
comportamiento de la solución de esta ecuación con valor
inicial y(0). ¿Tiene algún efecto el tamaño
de y(0) (con respecto a a y b)? ¿Tiene la
solución a este problema de valor inicial siempre (o nunca) un
punto de inflexión? Explique.
PROPÓSITO:
SYSTEMS grafica soluciones numéricas de sistemas de hasta 6
ecuaciones diferenciales ordinarias con ciertos parámetros
libres. Estos parámetros pueden cambiarse y la solución
será graficada nuevamente. Alguna expresión dada por el
usuario así como un conjunto de datos pueden también ser
graficados.
EJERCICIO:
1.
La ecuación más simple de crecimiento poblacional esta
dada por
donde r es una
constante, la razón de nacimientos menos la razón de
muertes. Considere la situación en que estas razones varían
periodicamente en el tiempo (ejemplo: estaciones anuales). Suponga
que reemplazamos la constante r por ,
donde a y f son constantes, esto nos daría el
problema inicial
Use SYSTEMS para estudiar esto como una función de r con
a=0.2 y f=1. Para empezar, trate c=10 y
r=0.1,0.05,-0.1 y -0.05. Trate otros valores para r y
para c (c>0) hasta que pueda formular al menos dos
conjeturas acerca del comportamiento de las soluciones conforme la
variable tiempo tiende a infinito. Pruebe analíticamene sus
conjeturas.
2.
Un factor fundamental acerca de EDO autonomas y escalares es que
todas sus soluciones son monótonas y por lo tanto son no acotadas
o aproximan un límite finito (se equilibran) conforme el tiempo
se incrementa. Este factor puede ilustrarse usando SYSTEMS para
desplegar simultáneamente gráficas de diferentes soluciones
a ecuaciones con diferentes puntos de equilibrio, estables y no
estables, tal es el ejemplo
Estas simulaciones
motivarán al estudiante a hacer conjeturas acerca de este factor
fundamental y sentar las bases para la demostración de una prueba
analítica rigorosa en un caso más general (esto entra en los
objetivos de estudiantes con tan sólo cálculo como
experiencia). Todo esto sirve el propósito de iniciar
cualitativamente a los estudiantes en el conocimiento de sistemas
dinámicos asintóticos y en las nociones básicas de
equilibrio y estabilidad.
3.
Considere el siguiente modelo lineal de repartición de
concentraciones x(t) y y(t) de un
insecticida en la población de una planta y su suelo:
sujeto a que x(0)>0 y y(0)>0, donde las
razones de transferencia entre la población y el suelo estan
dadas por a=0.02 y b=0.25. El producto dy
representa la perdida de insecticida del suelo por otras razones
distintas a absorción por la población. Sea
d=0.05. Use el campo direccional para argumentar que la
solución es siempre positiva para toda t>0. Use
SYSTEMS para investigar el plano fase en el primer cuadrante. Haga
una conjetura acerca del comportamiento a largo plazo de las
concentraciones de insecticida tanto en las plantas como en el suelo y
acerca de sus proporciones relativas. Resuelva las ecuaciones y use
la solución para probar su conjetura. Suponga que el suelo
originalmente no contiene insecticida. Use SYSTEMS para mostrar que
después de una dósis inicial x(0)>0 de insecticida
en las plantas, la concentración en el suelo se incrementa a un
máximo antes de caer a cero. Realice una conjetura acerca de
x(0) y el tiempo que le toma alcanzar un máximo. Pruebe
su conjetura. Suponga que el reglamento gubernamental pide que la
concentración de insecticida en el suelo no exceda un máximo
de T>0. ¿Que dósis inicial x(0)
cumpliría con este requerimiento?
4.
Use SYSTEMS para investigar el plano fase del sistema nolineal
para varios valores del parámetro
a. Realice una conjetura acerca del comportamiento
asintótico de las soluciones conforme t tiende a infinito,
para a>0 y para a<0. Después use el Teorema
de Poincare-Bendixson y el Criterio de la Negatividad de Dulac para
probar sus conjeturas. Este proyecto ilustra la bifurcación de
Hopf de un ciclo límite estable.
PROPÓSITO:
TAYLOR grafica los 20 primeros Polinomios de Maclaurin (esto es
Polinomios de Taylor alrededor de x=0) de
y=f(x), una vez que el usuario da
f(x) y los coeficientes de Taylor.
EJERCICIO:
1.
Use las funciones de STANDARD. Observe y
luego 1/(1-x) y luego vea la divergencia.
PROPÓSITO:
TRUTH TABLES despliega tablas de verdad. Las expresiones se
construyen de las afirmaciones p,q y r, y de las
cuatro operaciones, v (o), ^\ (y), ' (no), e > (implica).
PROPÓSITO:
TWIDDLE es un programa que invita al usuario a experimentar cambiando
datos y usando datos. Permite se de una función
f(x), con los parámetros a,b y
c y luego grafica la función. Los parámetros
a,b y c pueden cambiarse y la nueva función
será graficada. Un conjunto de datos puede ser también
graficado, se puede aproximar una curva a ojo. Si el conjunto de datos
es graficado, el valor numérico de la aproximación de
mínimos cuadrados entre f(x) y los datos es
proporcionado.
EJERCICIO:
1.
El archivo COFFEE.DTA contiene datos experimentales que
relacionan a x, el tiempo en minutos y y, la temperatura
del café que se enfría en una taza en grados
Centígrados. ¿Están estos datos relacionados con la
ley de enfriamiento de Newton ?
2.
La tabla muestra
las marcas mundiales de tiempos sobre difererentes distancias de
corredores tanto femeninos como masculinos. (Datos tomados del
Almanaque de 1992).
Table:
¿Qué valores agregaría a la tabla que representen el
tiempo que toma a hombres y a mujeres correr 0 metros? Use el
programa TWIDDLE para graficar estos datos (esto es tiempo de hombres
contra mujeres) contra la función f(x)=
ax+b (este conjunto de datos esta contenido en el
archivo WORLD1.DTA.) ¿Qué valores iniciales
escogería para a y b, tal que f(x)
pueda verse en la misma pantalla que el conjunto de datos?
¿Qué valores de a y b hacen que este
conjunto de datos parezcan estar relacionados linealmente?
Con estos valores de a y b, ¿Cuál sería la
marca de mujeres para 1 milla si la marca mundial de hombres fue 3
minutos 46.32 segundos? El valor actual es 4 minutos 16.71 segundos.
¿Qué tan cerca estuvo su predicción? Con esos
mismos valores de a y b ¿cuál sería la
marca para el maratón de hombres (26 millas 385 yardas) si la
marca mundial para las mujeres fue de 2 horas 21 minutos 6 segundos?
El valor actual es 2 horas 6 minutos 50 segundos. ¿Qué
tan cerca estuvo su predicción?
Es f(x) un buen modelo para predecir la relación
entre la marca de hombres y mujeres? Si su respuesta es que sí,
explique, de otra forma indique que funciones serían mejores que
f(x). Un reportero clama que las marcas de hombres
representan el 90% del de mujeres. ¿Queda esto probado con sus
observaciones?
Desde 1987, marcas para interiores han sido reconocidas para 50, 60,
200, 400, 800, 1000, 1500, 3000, 5000 metros y 1 milla. Obtenga una
copia de las ultimas marcas y repita los ejercicios anteriores, esta
vez comparando (a) hombres contra mujeres, marcas interiores, (b)
marcas mundiales exteriores contra interiores para hombres, y (c)
marcas mundiales exteriores contra interiores para mujeres.
3.
La tabla muestra
las marcas mundiales de eventos de natación libre sobre varias
distancias para hombres y mujeres. (Datos tomados del Almanaque
Mundial de 1992).
Table:
¿Qué valores agregaría a esta tabla para representar
el tiempo que toma tanto a hombres como mujeres nadar 0 metros? Use
el programa TWIDDLE para graficar este conjunto de datos (esto es
tiempo de hombres contra mujeres) contra la función
f(x)=ax+b. (Este conjunto de datos esta
en el archivo WORLD2.DTA.) ¿Qué valores iniciales
seleccionaría para a y b tal que f(x)
pueda verse en la misma pantalla que el conjunto de datos?
¿Qué valores de a y b hacen que el conjunto
de datos parezcan estar relacionados linealmente? ¿Es
f(x) un buen modelo para predecir la relación que
existe entre las marcas de nadadores mujeres y hombres? Si su
respuesta es sí, explique, de otra forma indique que funciones
serían mejores que f(x). Un reportero clama que
las marcas de hombres son alrededor del 95% de las de mujeres. Lo que
ud. observa, ¿sostiene este hecho? Compare el valorde a
de este ejercicio con el anterior. ¿ A qué conclusiones
llega?
4.
La tabla tomada
del Almanaque Mundial de 1986, muestra el año en que la marca
mundial de una milla en hombres es rota en este siglo, y el tiempo (en
segundos) para la milla. Por ejemplo, en 1933 la marca mundial
cayó de 4 minutos 9.2 segundos a 4 minutos 7.6 segundos. (Esto
fue establecido por Jack Lovelock de Nueva Zelanda, cuyos consejos y
entrenamiento fueron usados por Roger Bannister para correr los
primeros 4 segundos de milla en 1954.)
Table:
Use el programa TWIDDLE para graficar este conjunto de datos contra la
función f(x)=ax+b. (Este conjunto de
datos estan en el archivo MILE.DTA.) ¿Qué valores
iniciales para a y b seleccionaría tal que
f(x) pueda verse en la misma pantalla que los datos?
¿Qué valores de a y b hacen que los datos
parezcan estar relacionados linealmente? Con estos valores de
a y b ¿cuándo predice ud. que el ser humano
correra una milla en menos de 3 minutos? ¿En dónde su
f(x) cruza el eje x? ¿A qué
corresponde esto físicamente? ¿Es esta f(x)
un buen modelo para establecer futuras marcas? Si su respuesta es
si, explique, de otra forma indique que función sería mejor
que f(x).
5.
En 1619 Kepler publicó su tercera ley, que relacionaba a
D, la distancia de un planeta al sol, con P, el
período del planeta (el tiempo que toma al planeta completar una
órbita alrededor del sol, un ``año''). Su conjetura fue
que , donde k y
a son constantes que pueden determinarse empíricamente de
los datos experimentales. La tabla muestra
datos observados actualmente. (Está contenida en el archivo
PLANETS.DTA.)
Table:
Definiendo , , y , muestre que la
conjetura de Kepler se vuelve y=ax+b. Usando el
programa TWIDDLE, y los datos observados (con la escala log
correspondiente), cambie a y b hasta que se acomode de
la mejor forma a los datos. Con su selección de a y
b ¿cuál es la forma final de la ecuación de
Kepler? ¿Cómo se compara esto con la respuesta de Kepler?
6.
Una pesa de metal fue tirada y la distancia que iba cayendo se
midió cada 1/60 de segundo. Las siguientes son las distancias
que cayó la pesa, medidas en centímetros desde un punto
inicial arbitrario, 0.0, 1.50, 3.25, 5.30, 7.55, 10.20, 13.05, 16.15,
19.50, 23.15, 27.05, 31.30, 35.72, 40.55, 45.55, 50.80. Se cree que
la distancia d que ha caído la pesa obedece a la
fórmula donde a y
b son constantes. Note que, si esto es cierto, entonces
d(t)/t es lineal en t para t>0.
Graficando la distancia experimental/tiempo contra el tiempo (esto es
d(t)/t contra t), para t>0,
encuentre la relación lineal que mejor aproxima a estos datos.
¿Cuáles son los valores numéricos de a y
b para este experimento? (La interpretación física
de b es que es la velocidad de la pesa al tiempo 0.)
PROPÓSITO:
TWODMAPS permite al usuario trabajar con transformaciones afines en
dos dimensiones. Puede usar fractales, encontrar eigenvectores a ojo,
muestralos efectos de un mapeo sobre un conjunto de puntos, y muestra
la solución de un conjunto de dos ecuaciones lineales.
PROPÓSITO:
UNITS hace conversiones entre varias unidades.
PROPÓSITO:
VENN despliega diagramas de Venn. Las expresiones son construídas
de los conjuntos A,B,C,S(conjunto
universal), y E(conjunto vacío), con las cuatro
operaciones U (union), ^ (intersección), - (complemento relativo)
y ' (complemento).
EJERCICIO:
1.
¿Es vacío? Si es
así, pruébelo, de lo contrario de un contraejemplo.
2.
¿Es ? De ser así,
pruébelo, de lo contrario de un contraejemplo.
PROPÓSITO:
VOTE permite al usuario experimentar con varios métodos de voto,
el Método de Pluralidad, el Método de Conteo de Borda, el
Método de Pluralidad con Eliminación, y el Método de
Comparación por pares.
=a-bi.
¿Qué puede decir en general de la relación
geométrica entre z y 
? (Grafique algunos ejemplos. Haga una
conjetura. Pruebe su conjetura.)
se conoce como su inversión en el círculo unitario.
¿Qué puede decir en general de la relación
geométrica entre z y 
para encontrar las raíces cuadradas de uno de los números
definidos en el ejercicio 7. Grafíquelos. ¿Qué observa?
Haga lo mismo con alguno de los otros números del ejercicio 7.
¿Observa algo inusual? En general, ¿cómo se relacionan
geométricamente z y sus raíces cuadradas complejas?
(Grafique, conjeture, pruebe.)
¿Es el
resultado que obtuvo verdadero para todas las raíces de la
unidad?
se transforma en
.
para varios valores
de a. ¿ Cuál es el efecto de a cuando es
positiva y cuando es negativa, creciente o decreciente ? Repita el
ejercicio para 
, ¿ cuál
es el efecto de b cuando es positiva y cuando es negativa,
creciente o decreciente? Repita el ejercicio para 
.
para varios valores
de a. ¿ Cuál es el efecto que tiene a cuando
es positiva, negativa, creciente o decreciente? Repita el ejercicio
para 
. ¿ Cuál
es el efecto de b positiva, negativa, creciente o decreciente?
Repita el ejercicio para 
y para 
.
, para varios valores
de a. Explique las gráficas. Repita para 
.
, 
, 
, 
para valores de x entre 0 y 1. ¿Qué pasará
si se sigue el mismo patrón?
para varios valores
de a. Grafique 
para varios valores
de a. ¿ Cuál es el efecto de sumar una constante a
la función?
para varios valores
de a. Grafique 
para varios valores
de a. ¿ Cuál es el efecto que tiene el reemplazo
de x por x+a?
para varios valores
de a. Grafique 
para varios valores
de a. Grafique 
para varios valores
de a. ¿ Cuál es el efecto de reemplazar x
por ax?
para varios valores
positivos de a. ¿ En qué valores de a la
función cambia de ser creciente a ser decreciente?
para varios valores
de a. Explique que sucede cuando a es muy grande.
. ¿Es alguna de ellas siempre mayor que la otra? Haga una
conjetura que involucre a las dos funciones y una desigualdad. Pruebe
su conjetura, usando como hecho que 
nunca
es negativo.
y x para
x>1. ¿ Es alguna de ellas siempre mayor que la otra?
Haga una conjetura que involucre ambas funciones y una desigualdad.
Pruebe su conjetura.
y 1+x para
x>0. ¿ Es alguna de ellas siempre mayor que la otra?
Haga una conjetura sobre ellas y decida sobre una desigualdad. Pruebe
su conjetura.
y x para
x>0. ¿ Es alguna de ellas mayor que la otra? Haga
una conjetura y decida sobre alguna desigualdad. Pruebe su conjetura.
y 
para x>0. ¿ Es alguna de ellas siempre mayor que
la otra? Haga una conjetura y decida sobre alguna desigualdad. Pruebe
su conjetura.
para x>0. ¿ Es alguna de ellas siempre mayor que
la otra? Haga una conjetura y decida sobre alguna desigualdad. Pruebe
su conjetura.
y 
para diferentes valores de b. ¿ Qué valor de
b hace que las gráficas coincidan? ¿Qué
significa?
, para varios valores
de a entre -1 y 1, excluyendo el cero. Cuando a
está cerca del cero, ¿que función aparece? Basado en
esta construcción grafique la derivada de 
.
, para varios valores
de a entre -1 y 1, excluyendo el cero. Cuando a
está cerca del cero, ¿ que función aparece?
cuando x=2.
. Aquí d representa una
translación vertical y puede establecerse como cualquier
constante (digamos cero) si se desea graficar la función usando
FORTUNE.
. Si esto es
cierto, pruébelo, en caso contrario explique bajo que
circunstancias esto es falso.
y su imagen espejo
sobre la línea y=x. ¿Qué dice esto
acerca de la inversa de 
y 
.
. Simplemente con
analizar la definición de f(x) explique si la
gráfica de f(x) es correcta o no. Use cálculo
para confirmar sus observaciones. Repita este ejercicio usando las
funciones 
y 
. Para graficar estas funciones de manera correcta use la
función potencia, ejemplo: x* power(5x-40,3,5).
para a=23,27,30 a 36,42,45,50,51,56,66 a
70. ¿Nota algo? Ahora tome a=11 y compare esta grafica
con incrementos de 5 y luego con incrementos de 1. (Note que 's' da
incrementos de 1 y 'S' los regresa al valor original).
, y
p(x)=a. Grafique f(x) y
p(x) para varios valores de a. ¿Cómo
seleccionaría a de tal forma que p(x) se
aproxime a f(x) cerca de x=0? Para cualquier
f(x), ¿cómo seleccionaría a?
¿Cuál sería la interpretación geométrica de
dicha selección?
.
¿Cómo continuaría dicho proceso?
y 
y
y 
y 
?
y 
y
y 
y 
?
. Ahora grafique
. Explique cuidadosamente porque no son iguales.
, inferiormente por
el eje de las x y por la izquierda por el eje y.
Grafique la grafica de f(x) y sombree la región A.
Encuentre (aproximadamente) y etiquete los tres puntos esquina de la
región A. Con solo mirar el dibujo decida si el área de A
es mayor o menor que 0.8. ¿Es mayor o menor que 0.3? De una
justificación gráfica a sus respuestas. Exprese el
área de la región A como una integral. Aproxime el valor
de la integral con una presición tal que pueda decidir si el
área de A es mayor o menor que 0.6.
?
. La eccentricidad,
e, de la elipse esta dada por e=c/a,
mientras que el perímetro de la elipse es 
, integre 
de f(x). f(x) puede
tener parámetros libres a y b.
, dónde 
conforme x
se aproxima a cero.
cuando x se aproxima a cero? Si sigue uno acercando al cero, la
computadora dara de repente un valor completamente diferente.
Explique que ha sucedido.
conforme x tiende a cero? ¿Es
correcto?
;
calcule 
y 
. Basado en lo que observe, pruebe o refute la siguiente conjetura:
.
y 
. Basado en lo que observe, pruebe o refute la siguiente conjetura:
y B la
transpuesta de A. Observe los productos AB y BA.
¿Tienen alguna forma en particular? (En particular AB y
BA son ambas cuadradas. Para cada una de ellas compare las
entradas arriba y abajo de la diagonal.) Realice una conjetura y
trate de probarla. ¿Qué necesita saber acerca de producto
de transpuestas contrario a la transpuesta de un producto?
). Forme los
procuctos C=AB y D=BA.Calcule los
polinomios característicos de C y D y
compárelos. Repita las instrucciones para diferentes matrices
A y B con varias dimensiones. Basado en lo que observa,
realice una conjetura sobre los polinomios característicos de
AB y BA. Trate de probar su conjetura o casos
especiales de ella.
y llámelas
y 
. Forme los
productos 
y 
y luego forme las matrices 
, 
. Luego forme el cuadrado de cada 
y
llámelo 
. ¿Nota
algo especial acerca de las entradas y/o la forma de 
? Realice una
conjetura y trate de probarla. ¿Cree que algo similar sea
cierto para matrices más grandes?
: 
donde 
.
, 
, entonces cualquier otra solución lineal independiente tiene
un cero entre 
, donde t varía de 0 a 
. Ahora defina la curva paramétrica 
.
de
forma exacta.
?
tiene
un mínimo para x>0?
en x=0,
empezando con diferente valores inciales, excepto en x=0.
¿Nota algo? Trate de encontrar todas las funciones que tienen
la propiedad de que el método de Newton falla de esta manera.
antes de dar el numerador y denominador.)
). Si una familia satisface 
. (Examine los campos de pendientes de 
donde h y a son constantes positivas. Examine la
diferencia en los campos direccionales entre a=1 y
a=3/2. ¿En que caso el objeto caerá más
rápido? ¿Es eso obvio del campo direccional? (Haga
y=v,x=t,b=g y
h/m=c para dar la ecuación diferencial.)
¿Cree que a=0 es un modelo realista? Explique.
¿Cree que habrá una velocidad límite en estas tres
situaciones (a=0,1,3/2)? Si es así, explique por que y si
no explique por que no.
el período.
Del campo direccional, ¿puede ver el efecto que tendría
incrementar la razón R/L? Haga
c=R/L y a=A/L cuando de la
ecuación diferencial. ¿Existe una soluci'on estable para
este problema? (Esto es, ¿que sucede para valores grandes de
x?) ¿Afecta el valor inicial y(0) a este
problema?
,
donde a y f son constantes, esto nos daría el
problema inicial 
?
, donde k y
a son constantes que pueden determinarse empíricamente de
los datos experimentales. La tabla 
, 
, y 
, muestre que la
conjetura de Kepler se vuelve y=ax+b. Usando el
programa TWIDDLE, y los datos observados (con la escala log
correspondiente), cambie a y b hasta que se acomode de
la mejor forma a los datos. Con su selección de a y
b ¿cuál es la forma final de la ecuación de
Kepler? ¿Cómo se compara esto con la respuesta de Kepler?
donde a y
b son constantes. Note que, si esto es cierto, entonces
d(t)/t es lineal en t para t>0.
Graficando la distancia experimental/tiempo contra el tiempo (esto es
d(t)/t contra t), para t>0,
encuentre la relación lineal que mejor aproxima a estos datos.
¿Cuáles son los valores numéricos de a y
b para este experimento? (La interpretación física
de b es que es la velocidad de la pesa al tiempo 0.)
vacío? Si es
así, pruébelo, de lo contrario de un contraejemplo.
? De ser así,
pruébelo, de lo contrario de un contraejemplo.